Pengantar Teori Bilangan

Kembali ke sekolah dasar.kita belajar 4 inti operasi pada angka (bilangan bulat),yaitu penjumlahan (+),pengurangan(-),perkalian(x atau . ) dan pembagian (/).untuk setiap dua bilangan bulat a dan b,penjumlahan a + b,pengurangan a-b dan b-a,serta perkalian ab adalah semuanya bilangan bulat,semenatara hasil bagi a/b dan b/a tidak selalu bilangan bulat.

Untuk satu bilangan bulat m dan satu bilangan bulat tidak nol n, kita mengatakan bahwa m dapat dibagi oleh n atau n membagi habis m jika terdapat bilangan bulat k, sedemikin hingga m=kn,berarti m/n adalah bilangan bulat.kita notasikan hal tersebut dengan n│m.jika m dibagi habis oleh n maka m disebut kelipatan dari n, dan n disebut faktor dari m.

Karena 0=0.n,ini menunjukkan bahwa n│0 untuk setiap bilangan bulat n.untuk bilangan bulat tertentu n,kelipatan dari n adalah 0, ±n, ±2n,....karenanya tidak sulit untuk menunjukkan bahwa terdapat kelipatan dari n untuk tiap-tiap n yang berurutan.jika m tidak habis dibagi oleh n maka kita tuliskan n│m(catatan bahwa 0│m untuk setiap bilangan bulat m tidak nol karena m≠0=k.0 untuk setiap bilangan bulat k).

Proposisi1.1bentuk x,y, dan z bilangan bulat,kita punya dasar sebagai berikut:

A. x│x (sifat refleksif)

B. jika x│y dan y│z maka x│z (sifat transitif)

C. jika  x│y dan y ≠0 maka│x│≤│y│

D. jika x│y dan x│z maka x│ y + z untuk setiap bilangan bulat   dan

E. jika  x│y dan x│y±z maka  x│z

F. jika  x│y  dan y│x  maka │x│=│y│

G. jika  x│y dan y ≠0 mak a │y

H. untuk z ≠0, x│y jika dan hanya jika xz│yz

Sifat di atas dapat dibuktikan secara langsung dari definisi.kita menyajikan bikti ini hanya untuk memberikan kepada pembaca beberapa contoh yang relevan dari bukti penulisan.

Bukti:

Untuk A.kita notasikan bahwa x=1.x.pada B.sampai H. Kondisi x│y  telah diberika sehingga y=kx untuk suatu bilangan bulat k.

Untuk B. Kta mempunyai  y│z sehingga  untuk suatu bilangan bulat . Maka  atau x│z.

Untuk C. Kita notasikan bahwa jika y ≠0 maka │k│≥1 dan juga │y│=│k│.│x│≥│x│

Untuk D. Selanjutnya kita asumsikan bahwa Maka

Untuk E. Kita peroleh    atau . Ini menunjukkan bahwa .

Untuk F. Karena x│y dan y│x,ini menunjukkan bahwa x≠0 dan y≠0.dari C. Kita punya bahwa │y│≥│x│ dan │x│≥│y│.Karenanya │x│=│y│

Untuk G. adalah suatu bilangan bulat.karena

Untuk H. Karena z≠0,x ≠0 jika dan hanya jika xz ≠0.dinotasikan bahwa y=kx jika dan hanya jika yz=kxz.

Sifat G. Sederhana tetapi sangat membantu. Untuk bilangan bulat tak nol n, terdapat suatu bilangan genap positif  pembagi n kecuali jika n adalah perfect square yaitu  untuk suatu bilangan bulat m.(Jika suatu bilangan bulat tidak dapat dibagi oleh suatu bilangan perfect square maka bilangan tersebut disebut square free.Jika  untuk suatu bilangan bulat m, maka n disebut sebagai  perfect cube. Secara umum, jika  untuk bilangan bulat m dan s dengan s ≥ 2, maka n disebut perfect power.)Ini adalah karena semua pembagi y nampak berpasangan,yaitu  dan  (amati bahwa jika y bukan sebuah perfect square).Ini adalah masalah klasik yang sangat sulit:

Contoh 1.1 Dua puluh murid yang sedang bosan mengambil giliran berjalan pada suatu lorong yang berisi sebaris loker yang tertutup,bernomor 1 sampai 20.Murid pertama membuka semua loker,murid kedua menutup semua loker yag bernomor 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20;murid ketiga membuka loker bernomor  3,6,9,12,15,18 jika loker tersebut dalam keadaan tertutup dan menutup loker tersebut jika dalam keadaan terbuka.untuk setiap murid ke-i bekerja pada loker yang bernomor kelipatan dari i,jika loker tertutup akan dibuka dan jika loker terbuka maka akan ditutup.loker nomor berapa yang masih terbuka setelah semua murid selesai berjalan?

Penyelesaian : Catatan bahwa loker ke-i akan dioperasikan oleh murid j jika dan hanya jika j│i.Berdasarkan sifat G. Ini bisa terjadi jika dan hanya jika loker tersebut juga akan dioperasikan oleh murid .Dengan demikian hanya loker nomor 1 = , 4=2²,9=3² dan 16=4² akan dioperasikan dalam waktu yang bernilai ganjil loker ini akan ditinggalkan terbuka setelah semua operasi dilakukan.Maka dari itu jawabannya adalah loker 4.

Humpunan dari bilangan bulat  ditandakan oleh Z dapat dipartisikan menjadi dua subset  yaitu himpunan dari bilangan bulat ganjil dan himpunan bilangan bulat genap:

(±1,±3, ±5,...) dan (0, ±2, ±4,...),

Berturut-turut. Walau konsep bilangan bulat ganjil dan bilangan bulat genap terlihat secara langsung,dapat menyelesaikan berbagai masalah teori bilangan.berikut ini diberikan beberapa ide dasar:

1.      bilangan ganjil merupakan bentuk 2k+1 untuk suatu bilangna bulat k.

2.      Bilangan genap adalah bentuk 2m untuk suatu bilangan bulat m,

3.      Penjumlahan dari dua bilangan ganjil adalah sebuah bilangan genap,

4.      Penjumlahan dari dua bilangan genap adalah bilangan genap,

5.      Penjumlahan dari suatu bilangan ganjil dengan suatu bilangan genap adalah bilangan ganjil,

6.      Perkalian dari dua bilangan ganjil adalah sebuah bilangan ganjil,

7.      Perkalian bilangan bulat genap jika dan hanya jika sedikitnya satu dari faktor bilangan tersebut adalah bilangan genap.

Contoh 1.2 Asumsikan  n bilangan bulat lebih besar dari 1. Buktikan bahwa

a.       2ⁿ adalah penjumlahan dari dua buah bilangan bulat ganjil yang berurutan;

b.      3ⁿ adalah penjumlahan dari tiga bilangan bulat yang berurutan.

Bukti:Untuk a. Hubungan 2ⁿ=(2k-1)+(2k+1) didapatkan   bahwa k = 2^n-2 dan kita peroleh

 2ⁿ=(2^n-1-1)+(2^n-1+1).

Untuk b. Hubungan 3ⁿ=(s-1)+s+(s+1) didapatkan bahwa s=3^n-1 dan kita peroleh  penyajiannya sebagai berikut 3ⁿ=(3^n-1-1)+3^n-1+(3^n-1+1)

Contoh 1.3.Asumsikan k merupakan bilangan genap. Apakah mungkin untuk menulis 1 sebagai jumlah kebalikan k bilangan bulat ganjil?

Penyelesaian: jawabannya adalah tidak.

Kita gunakan pendekatan tidak langsung. Asumsikan bahwa:

 

Untuk suatu bilangan bulat negatif n₁,....,n_k;maka  jelas bahwa  penyebut  n₁....n_k=s₁+....+s_k dimana si semuanya benilai ganjil.tetapi hal ini tidak mungkin,karena pada sisi kiri adalah bilangan ganjil dan pada sisi kanan adalah bilangan genap.

Jika k adalah bilangan ganjil , penyajian demikian adalah mungkin.Berikut ini contoh untuk k=9 dan n₁,....,n₉ adalah bilangan bulat positif ganjil yang berbeda:

Contoh 1.4.[HMMT 2004]Zach memilih lima angka dari himpunan {1,2,3,4,5,6,7}. Jika dia memberitahu Claudia hasil kali dari angka yang dipilihnya, maka hal tersebut tidak akan cukup menginformasikan kepada Claudia untuk menebak hasil penjumlahan dari angka yang dipilih Zach genap atau ganjil. Berapakah hasil kali dari angka yang dipilih Zach?

Penyelesaian: jawabannya adalah 420

Memberikan hasil kali dari angka-angka yang dipilih adalah sama dengan memberikan hasil kali dari dua angka yang tidak dipilih. satu-satunya kemungkinan hasil kali yang dicapai oleh lebih dari satu pasangan dari angka-angka berikut 12({3,4}) dan {2,6})dan 6({1,6}dan{2,3}).tetapi dalam kasus kedua penjumlahan dari dua bilangan (tidak dipilih) adalah ganjil(dan penjumlhan dari kelima bilangan yang dipilih adalah ganjil). Karena itu digunakan kemungkinan yang pertama,dan hasil kali dari lima angka yang dipilih sama dengan:

ALGORITMA PEMBAGIAN

Hasil berikut disebut algoritma pembagian dan ini memainkan satu peran penting dalam teori bilangan:

Teorema 1.2a. untuk setiap bilangan bulat positif a dan b terdapat satu pasangan tunggal (q,r) dari bilangan bulat tidak negatif sedemikian hingga b = aq +r dan r < a.kita sebut q sebagai hasil bagi dan r sebagai sisa ketika b dibagi oleh a.

Untuk membuktikan hasil ini, kita perlu membuktikan dua bagian: keberadaan pasangan bilangan dan ketunggalannya.

Bukti: untuk menunjukkan keberadaannya,kita mempertimbangkan tiga kasus.

1)      Dalam kasus ini kita asumsikan bahwa a>b.kita bisa membentuk q=0 dan r= b<a;sehingga (q,r)=(0,b).

2)      Andaikan a=b.kita bisa membentuk q=1 dan r = 0 < a;sehingga (q,r)=(1,0).

3)      Terakhir, asumsikan bahwa a < b. Terdapat bilangan bulat positif n sedemikian hingga na > b.q bilangan bulat positif terkecil untuk yang mana (q+1)a > b.maka qa≤b.r=b-aq. Ini menunjukkan bahwa b = aq+r dan 0≤r<a. Dengan mengkombinasikan tiga kasus tersebut,kita telah menentukan keberadaannya.

Untuk ketunggalannya, bahwa b=aq’ + r’,dimana q’ dan r’ juga merupakan bilangan bulat tidak negatif sehingga 0≤r’<a.maka aq+r=aq’+r’,berakibat a(q-q’)=r’-r dan juga a│r’-r. Karenanya │r’-r│≥a atau │r’-r│=0. Karena 0≤r,r’<a maka hasilnya │r’-r│ <a,kita ditinggalkan dengan │r’-r│=0,berakibat r’=r,sehingga q’=q.

Contoh 1.5.n adalah bilangan bulat positif. Buktikan bahwa  dapat dibagi habis oleh 2 tetapi tidak habis dibagi oleh 4.

Bukti: jelas bahwa adalah bilangan ganjil dan  adalah bilangan genap.catat bahwa = . Ingat kembali teorema binomial

Masukkan nilai x=8,y=1, dan m=2^n-1 pada persamaan atas,kita lihat bahwa masing-masing penjumlahan,kecuali yang terakhir (y^m=1)adalah kelipatan dari 8(yang merupakan kelipatan dari 4). Karenanya sisa dari  dibagi oleh 4 sama dengan 1, dan sisa dari  dibagi oleh 4 sama dengan 2. Pendapat di atas dapat disederhanakan ke dalam notasi kongruen modulo 4. Kongruensi merupakan bagian penting dari teori bilangan. Kita akan membicarakan ini secara ekstensif. Algoritma pembagian dapat diperluas untuk bilangan bulat:

Teorema 1.2b. untuk setiap bilangan bulat a dan b,a≠0,terdapat dengan tunggal pasangan (q,r) dari bilangan bulat sedemikian hingga b=aq+r dan 0≤r<│a│.

Kita tinggalkan bukti perluasan ini untuk pembaca.

PRIMA

Bilangan bulat p>1 disebut prima(atau bilangan prima)jika tidak terdapat bilangan bulat d dengan d>1 dan d≠p sedemikian hingga d│p.sebarang bilangan bulat n>1 mempunyai paling sedikit satu bilangan prima pembagi. Jika n adalah bilangan prima, maka bilangan prima pembaginya adalah dirinya sendiri. Jika n bukan bilangan prima,maka a>1 menjadi pembagi terkecil. Maka n=ab,dimana 1<a≤b. jika a bukan bilangan prima maka a=a₁a₂ dengan 1<a₁≤a₂<a dan a₁│n,terjadi kontradiksi dengan keminimalan dari a.

Bilangan bulat n>1 yang bukan bilangan prima disebut bilangan komposit. Jika n adalah bilangan bulat komposit, maka mempunyai pembagi prima p tidak lebih dari . Bahwasanya sebagai di atas,n=ab, dimana 1<a≤b dan a adalah pembagi terkecil dari n. Maka n≥a²;karenanya a≤ . ide ini ditemukan pada zaman Yunani kuno oleh seorang ahli matematika bernama Eratoshenes(250 BCE).

Catatan bahwa semua bilangan genap positif lebih dari 2 adalah bilangan komposit. Di sisi lain,2 adalah satu-satunya bilangan prima yang genap dan terkecil.Semua bilangan prima yang lain adalah bilangan ganjil;bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dibagi oleh 2. Bilangan terkecil pertama adalah 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29. Berapa banyak bilangan tersebut?  Apakah kita benar-benar yakin bahwa bilangan prima jumlahnya tidak terhitung. Lihat teorema 1.3 di bawah ini. Perbandingan antara angka dari unsur pada dua setelan tanpa batas adalah samar-samar,tetapi jelas nyata bahwa lebih banyak bilangan komposit daripada bilangan prima. Kita tahu bahwa 2 dan 3 adalah satu-satunya bilangan prima yang berurutan. Urutan bilangan prima yang berselang, misalnya 3 dan 5,5 dan 7,41 dan 43,disebut bilangan prima kembar. Masih menjadi pertanyaan apakah bilangan prima kembar jumlahnya tak hingga. Brun telah memperlihatkan, sekalipun terdapat tak hinnga bilangan prima yang kembar,jumlah dari kebalikannya adalah konvergen. Pembuktian untuk hal tersebut sangat sulit.

Contoh 1.6. temukan semua bilangan bulat positif n yang memenuhi 3n-4,4n-5,dan 5n-3 sehingga ketiganya merupakan bilangan prima.

Penyelesaian: jumlah dari ketiga bilangan tersebut adalah suatu bilangan genap, jadi paling sedikit salah satu dari ketiganya adalah bilangan genap. Satu-satunya bilangan prima yang genap adalah 2. Hanya 3n-4 dan 5n-3 yang merupakan bilangan genap. Penyelesaian dari persamaan

3n-4=2 dan 5n-3=2 berturut-turut adalah n=2 dan n=1. Mudah untuk mengecek bahwa n=2 menjadikan ketiga angka tersebut menjadi bilangan prima.

Contoh 1.7. [AHSME1976] Jika p dan q adalah bilangan prima dan  mempunyai dua akar bilangan bulat yang berbeda,tentukan p dan q.

Penyelesaian:misalkan  dan  merupaka aka-akar dari persamaan tersebut,dengan < ,,maka , berakibat p= +  dan q= . Karena q adalah bilangan prima, =1. Dengan demikian q=  dan p= +1 adalah bilangan prima yang berurutan,sehingga diperoleh q=2 dan p=3.

Contoh 1.8. temukan 20 bilangn komposit yang berurutan.

Penyelesaian: angka 20! +2,20!+3,....,20! Merupakan penyelesaiannya.

Hasil berikut oleh Euclid telah diketahui lebih dari 2000 tahun:

Teorema 1.3a. terdapat tak hinga bilangan prima.

Bukti: andaikan banyaknya bilangan prima terhingga:  pertimbangkan angka . Jika P merupakan bilangan prima maka P> . Kontradiksi dengan diketahui bahwa bilangan prima terbesar adalah . Karena itu P merupakan bilangan komposit dan mempunyai pembagi prima p>1,yaitu salah satu bilangan prima dari  katakan . Sehingga . Berakibat  membagi ,maka  membagi 1. Terjadi kontradiksi.

Walaupun terdapat tak hingga bilangan prima,tidak ada rumus tertentu untuk menemukannya. Teorema 1.3b pada bagian berikutnya akan mengungkapkan bagian dari penalaran.

Teorema fundamental aritmatika

Hasil fundamental dalam aritmatika menyinggung masalah faktor prima dari bilangan bulat:

Teorema 1.4. [Teorema Fundamental Aritmatika]

Sebarang bilangan bulat lebih dari 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai perkalian dari bilangan prima.

Bukti:Keberadaan dari penyajian seperti itu dapat diperoleh dengan:  

 adalah bilangan prima pembagi n. Jika  maka  adalah faktor prima dari n. Jika  maka ,dimana . Jika  adalah bilangan prima, maka  dimana  adalah faktor dari n yang diinginkan. Jika  adalah bilangan komposit, maka  dimana  adalah bilangan prima,  dan . Jika  bilangan prima, maka ,  dan . Jika  bilangan komposit, maka kita lanjutkan algoritma ini,dengan memperoleh satu urutan bilangan bulat . Setelah berhingga bilangan pada urutan tersebut,kita dapatkan ,karena itu .

Untuk sifat ketunggalan, kita asumsikan bahwa terdapat paling sedikit stu bilangan bulat positif n yang mempunyai dua faktor prima yang berbeda,yaitu: , dimana  adalah bilangan prima, dengan  dan  sehingga k-tuple  tidak sama dengan h-tuple

. Jelas bahwa  dan . n merupakan bilangan bulat terkecil. Kita akan memperoleh kontradiksi dengan menemukan bilangan bulat positif yang lebih kecil yang juga mempunyai dua faktor prima yang berbeda.

Kita klaim bahwa ,untuk setiap i=1,2,...,k, j=1,2,...,h. Untuk contoh, , maka  dan ,kontradiksi dengan minimality n. Tanpa meninggalkan keumuman bahwa ;  adalah faktor prima terkecil dari n pada penyajian di atas. Dengan menggunakan algoritma pembagian diperoleh

Dimana .

Kita punya

.

Memperluas perkalian yang terakhir,kita peroleh  untuk suatu bilangan bulat positif m.

Bentuk kita punyai . Hali ini menunjukkan bahwa  dan . Kita tulis  dimana  adalah bilangan prima.

Di sisi lain, faktor prima  dari ,semua faktornya kurang dari .  Dari  ,  berdasarkan hal tersebut n’ mempunyai faktor prima dalam bentuk , dimana . Faktor ini berbeda dengan . Tetapi , terjadi kontradiksi dengan  minimality n.

Berdasarkan teorema di atas,diperoleh bahwa untuk setiap bilangan bulat n>1 dapat dituliskan ketunggalannya dalam bentuk

,

Dimana adalah bilangan prima yang berbeda dan  bilangan bulat positif. Penyajian ini disebut faktor  kanonik(atau faktori) dari n. Tidak sulit untuk menunjukkan bahwa faktor  kanonik dari perkalian dua buah bilangan bulat adalah perkalian dari faktor kanonik kedua bilangan tersebut.  Faktorisasi ini memudahkan kita untuk menentukan sifat fundamental pada bilangan prima.

Kesimpulan 1.5. a dan b bilangan bulat. Jika bilangan prima p membagi habis  ab, maka p membagi habis  a atau b.

Bukti: karena p membagi habis b,p harus merupakan faktor kanonik dari ab. Faktor kanonik dari a,b,dan ab adalah tunggal,dan faktor kanonik dari ab dalah perkalian dari faktor kanonik a dan b.  karena itu, p harus merupakan paling tidak salah satu dari faktor kanonik a dan b,mengakibatkan hasil yang diinginkan.

Penggunaan langsung yang lain dari  teorema faktorisasi prima adalah cara lain untuk membuktikan bahwa terdapat tak hingga bilangan prima.

Seperti dalam bukti teorema 1.3,asumsikan bahwa terdapat berhingga bilangan prima:   .

Di sisi lain, dengan memperluas dan menggunakan faktorisasi kanonik dari bilangan bulat positif, kita peroleh

Menghasilkan

Terjadi kontradiksi. Kita telah menggunakan fakta paling umum:

a.       Rangkaian selaras

,divergen

b.      Rumus expansi

Khusus untuk bilangan real x dengan . Ruus ekxpansi ini bisa juga diinterpretasikan sebagai rumus penjumlahan untuk kemajuan geometri tak terbatas

Dari rumus, ,

Menggunakan pertidaksamaan kita dapat dengan mudah memperoleh

           

Untuk bilangan prima p kita katakan bahwa  spenuhnya membagi n dan ditulis  jika k bilangan positif terbesar sehingga .

Contoh 1.9. [ARML 2003] Temukan bilangan pembagi terbesar dari 1001001001 yang tidak melebihi 10000.

Penyelesaian: kita punya

Catatan bahwa   kita simpulkan bahwa dan juga 1001001001=7.11.13.101.9901. tidak sulit untuk mengecek bahwa tidak ada kombinasi dari 7, 11, 13, dan 101 yang bisa menghasilkan perkalian lebih dari 9901 dan  kurang dari 10000,jadi jawabannya adalah 9901.

Contoh 1.10. tentukan n sedemikian hingga .

Penyelesaian: jawabannya adalah 12

Perhatikan bahwa  dan . Kita punya,

 Dari contoh 1.5,  untuk bilangan bulat positif k.karena itu,jawabannya Teorema 1.4 mengindikasikan bahwa semua bilangan bulat dihasilkan dari bilangan prima. Karena  pentingnya bilanngan prima,banya orang telah mencoba untuk menemukan  rumus untuk menghasilkan bilangan prima. Sejauh ini,semua upaya adalah, 9+2+1=12.

belum lengkap. Di sisi lain, terdapat beberapa hasil  yang negatif. Di bawah ini suatu khas yang berhubungan dengan Goldbach:

Teorema 1.3b. untuk  setiap bilangan bulat m,tidak ada bentuk polinomial  dengan koefisien bilangn bulat sehingga  adalah bilangan prima untuk semua bilangan bulat n dengan .

Bukti:  andaikan terdapat polinomial

Dengan  bilangan bulat dan

Jika merupakan bilangan komposit, maka penganddaian kita salah. Sehingga aasumsi kita adalah =p adalah bilangan prima. Maka

             dengan i merupakan bilangan bulat positif.

Perhatikan bahwa

karena itu  adalah kelipatan dari p. Hal ini menunjukkan bahwa   adalah kelipatan dari p. Karena adalah kelipatan dari p. Dari asumsi kita  juga merupakan bilangan prima. Krena itu kemungkinan nilai dari   adalah 0,p, dan –p untuk setiap i  bilangan bulat positif . di sisi lain persamaan   dapat punya akar paling banyak 3k.  Oleh sebab itu terdapat tak berhingga i sedemikian hingga   bukanlah solusi dari persamaan   . Kita mendapatkan sebuah kontradiksi. Karena itu pengandaian kita harus diingkar. Tidak ada polinomial yang semua koefisiennya merupakan bilangan prima.

Tidak ada cara yang pasti untuk menentukan bilangan prima, kepadatan dari bilangan prima (yaitu, rata-rata yang terlihat dari bilangan prima dan bilangan bulat)telah diketahui sekitar 100 tahun yang lalu. hasil luar biasa di bidang matematika ini pada analitik teori bilangan diperlihatkan sebagai berikut

           

Dimana menandakan dari bilangan prima . Hubungan di atas dikenal sebagai teori bilangan prima. Hal ini telah dibuktikan oleh Hamadard dan De la Vallee Poussin pada tahun 1896. Satu keunsuran kecuali bukti yang sulit telah diberikan oleh Erdos dan Selberg.

Pendidikan Sebagai Solusi Permasalahan Bangsa

Bangsa Indonesia adalah bangsa yang besar karena didukung oleh sejumlah fakta positif yaitu posisi geopolitik yang sangat strategis, kekayaan alam dan keanekaragaman hayati, kemajemukan sosial budaya, dan jumlah penduduk yang besar. Oleh karena itu, bangsa Indonesia memiliki peluang yang sangat besar untuk menjadi bangsa yang maju, adil, makmur, berdaulat, dan bermartabat. Namun demikian, untuk mewujudkan itu semua, kita masih menghadapi berbagai masalah nasional yang kompleks, yang tidak kunjung selesai. Misalnya aspek politik, di mana masalahnya mencakup kerancuan sistem ketatanegaraan dan pemerintahan, kelembagaan Negara yang tidak efektif, sistem kepartaian yang tidak mendukung, dan berkembangnya pragmatisme politik. Lalu aspek ekonomi, ekonomi yang tidak konsisten, sistem keuangan dan perbankan yang tidak memihak, dan kebijakan perdagangan dan industri yang liberal. Dan aspek sosial budaya, masalah yang terjadi saat ini adalah memudarnya rasa dan ikatan kebangsaan, disorientasi nilai keagamaan, dan melemahnya mentalitas positif.
Dari segi kependudukan, Indonesia masih menghadapi beberapa masalah besar anatara lain :

·   Penyebaran penduduk tidak merata, sangat padat di Jawa - sangat jarang di Kalimantan dan Irian.

·   Piramida penduduk masih sangat melebar, kelompok balita dan remaja masih sangat besar. Banyaknya masyarakat yang menikah di usia muda mengakibatkan terjaadinya baby boom.

·   Angkatan kerja sangat besar, perkembangan lapangan kerja yang tersedia tidak sebanding dengan jumlah penambahan angkatan kerja setiap tahun.

·   Distribusi Kegiatan Ekonomi masih belum merata, masih terkonsentrasi di Jakarta dan kota-kota besar di pulau Jawa.

·   Pembangunan Infrastruktur masih tertinggal; belum mendapat perhatian serius

·   Indeks Kesehatan masih rendah; Angka Kematian Ibu dan Angka Kematian Bayi masih tinggi

Berikut ini beberapa kondisi riil kebangsaan yang menyebabkan terpuruknya karakter kebangsaan dan tatanan sosial bangsa Indonesia
   Pertama, kebijakan otonomi daerah menyebabkan lahirnya kebanggaan pada daerah. Otonomi daerah di Indonesia menstimulasi pemikiran dan kesadaran daerah yang lebih menguat dibandingkan dengan kesadaran-kesadaran kebangsaan. Hal ini bisa dilihat dari seringnya muncul ide, pri-non pri, daerah-pusat, putra daerah, atau jawa – luar jawa.
Dalam proses politik pasca reformasi, isu-isu tersebut menguat seiring dengan fluktuasi politik aliran di Indonesia. Kendati tidak menjadi mainstream politik di Indonesia, namun perilaku nyata masyarakat kita masih terus menunjukkan indikasi perilaku-perilaku yang mengutamakan nilai kebanggaan daerah dibandingkan dengan kebanggaan kebangsaannya, Indonesia.

    Kedua, kelanjutan dari proses ini, muncullah fenomena teritorialisasi geopolitik di Indonesia. Indonesia yang terbentang dari ujung Sabang sampai Merauke, kemudian dikapling-kapling secara politik oleh ‘persepsi dan kepentingan’ politik elit daerah di Indonesia. Dalam pemilihan umum (pemilu) legislatif misalnya, ada rebutan wilayah konstituen, dan dalam pilkada ada isu pri-nonpri atau jawa – luar jawa. Hal ini merupakan bentuk nyata dari proses teritorialisasi geopolitik atau dalam istilah lain ada proses deteritorialisasi geopolitik Keindonesiaan menjadi kapling-kapling geopolitik lokal .
    Ketiga, orientasi pembangunan Indonesia masih berpusat pada pusat-pusat daerah. Secara nasional, pembangunan masih bersifat di pulau Jawa. Secara lokal, pembangunan masih terfokus pada pusat pemerintahan. Sementara daerah-daerah pinggiran atau daerah perbatasan, kurang mendapat perhatian yang seksama, baik dari pemerintah pusat maupun Pemerintah Daerah. Bila hal ini dibiarkan terjadi, atau tidak dibenahi, maka potensi konflik daerah perbatasan akan memicu masalah bangsa dan administrasi wilayah Indonesia.
    Keempat, masih seringnya terjadi penyelundupan kekayaan alam negara kepada negara lain secara ilegal. Praktek inipun diperparah lagi dengan tindakan penebangan liar, perambahan hutan, dan perusakan lingkungan. Akibat nyata dari tindakan ini, bukan hanya menyebabkan indonesia mengalami kerugian materi, namun kerugian ekologi dan martabat kebangsaan. Perilaku itu merupakan bentuk nyata dari ‘lemahnya’ rasa tanggungjawab pelaku terhadap geografi Indonesia, masa depan bangsa dan ekologi Indonesia.

Dari sejumlah fakta positif atas modal besar yang dimiliki bangsa Indonesia, jumlah penduduk yang besar menjadi modal yang paling penting karena kemajuan dan kemunduran suatu bangsa sangat bergantung pada faktor manusianya (SDM). Masalah-masalah politik, ekonomi, dan sosial budaya juga dapat diselesaikan dengan SDM. Namun untuk menyelesaikan masalah-masalah tersebut dan menghadapi berbagai persaingan peradaban yang tinggi untuk menjadi Indonesia yang lebih maju diperlukan revitalisasi dan penguatan karakter SDM yang kuat. Salah satu aspek yang dapat dilakukan untuk mempersiapkan karakter SDM yang kuat adalah melalui pendidikan.
Pendidikan merupakan upaya yang terencana dalam proses pembimbingan dan pembelajaran bagi individu agar berkembang dan tumbuh menjadi manusia yang mandiri, bertanggungjawab, kreatif, berilmu, sehat, dan berakhlak mulia baik dilihat dari aspek jasmani maupun ruhani. Manusia yang berakhlak mulia, yang memiliki moralitas tinggi sangat dituntut untuk dibentuk atau dibangun. Bangsa Indonesia tidak hanya sekedar memancarkan kemilau pentingnya pendidikan, melainkan bagaimana bangsa Indonesia mampu merealisasikan konsep pendidikan dengan cara pembinaan, pelatihan dan pemberdayaan SDM Indonesia secara berkelanjutan dan merata. Melihat kondisi sekarang dan akan datang, ketersediaan SDM yang berkarakter merupakan kebutuhan yang amat vital. Ini dilakukan untuk mempersiapkan tantangan global dan daya saing bangsa.

Secara normatif, tujuan pendidikan nasional bertujuan untuk membangun karakter banga (character building). Pendidikan di Indonesia bukan bidang ilmu yang bisa dipisahkan atau terpisah dari kebutuhan dan kepentingan praktis bangsa dan Negara. Lebih luas lagi, pendidikan tidak bisa dipisahkan dari kepentingan praktis manusia dalam kehidupan sehari-hari.
Sumber daya manusia untuk kepentingan berbagai hal sangatlah beragam, tergantung pada kepentingan itu sendiri sesuai dengan pembangunan yang akan dijalankan.

Masalah sosial yang terjadi di masyarakat memerlukan pemecahan antar bidang-bidang ilmu sosial untuk mencapai tujuan dalam mengisi pembangunan nasional. Masalah sosial dapat timbul oleh masalah sosial dan dapat pula ditimbulkan oleh masalah alam, seperti :
1)  Faktor alam (ekologis - geografis). Menyangkut menipisnya sumber daya alam yang  tersedia di planet bumi.
2)  Faktor biologis. Menyangkut pertumbuhan penduduk yang setiap waktu bertambah memenuhi planet bumi.
3)  Faktor budayawi. Perkembangan ilmu pengatahuan dan teknologi yang mempengaruhi kehidupan manusia
4)  Faktor sosial.Kebijaksanaan pemerintah dalam bidang ekonomi dan politik bagi masyarakat.

Meminjam analisis Hubermas, pengetahuan, ilmu pengetahuan dan ideologi merupakan tiga hal yang saling bertautan dan ketiganya terkait dengan praktis kehidupan sosial manusia. Bila pengetahuan dan atau ilmu pengetahuan terpisah dari praktis, akan menyebabkan manusia terasing dengan dirinya, dan lingkungannya.

Posisi pendidikan sebagai bagian dari sistem rekayasa sosial. Transformasi sosial juga memerlukan sebuah teknik dan strategi yang relevan dengan karakter sosial itu sendiri. Menurut Brameld, kekuatan yang paling kapabel untuk melakukan kontrol sosial dan tranformasi sosial adalah pendidikan. Maka dengan demikian, setelah dia merujuk pada pemikirannya Francis Bacon (yang menyatakan knowledge is power) mengatakan ‘education as power’ . Dengan kata lain, pendidikan dapat dijadikan sebagai sarana rekayasa social menuju tatanan yang diharapkan. Melalui pendidikan ini, Indonesia dapat membangun karakter bangsa yang bertanggungjawab terhadap diri, masyarakat dan negara. Untuk melakukan pembenahan ini, perlu diawali dari perubahan mindset. Senada dengan pemikiran ini. Perubahan ini hanya bisa dilakukan melalui pendidikan

SDM  merupakan aset paling penting untuk membangun bangsa yang lebih baik dan maju. Namun untuk mencapai itu, SDM yang kita miliki harus berkarakter. SDM yang berkarakter kuat dicirikan oleh kapasitas mental yang berbeda dengan orang lain seperti keterpercayaan, ketulusan, kejujuran, keberanian, ketegasan, ketegaran, kekuatan dalam memegang prinsip, dan sifat-sifat unik lainnya yang melekat dalam dirinya.
Secara lebih rinci, saya kutip beberapa konsep tentang manusia Indonesia yang berkarakter dan senantiasa melekat dengan kepribadian bangsa. Ciri-ciri karakter SDM yang kuat meliputi

(1) religious, yaitu memiliki sikap hidup dan kepribadian yang taat beribadah, jujur, terpercaya, dermawan, saling tolong menolong, dan toleran

(2) moderat, yaitu memiliki sikap hidup yang tidak radikal dan tercermin dalam kepribadian yang tengahan antara individu dan sosial, berorientasi materi dan ruhani serta mampu hidup dan kerjasama dalam kemajemukan

(3) cerdas, yaitu memiliki sikap hidup dan kepribadian yang rasional, cinta ilmu, terbuka, dan berpikiran maju

(4) mandiri, yaitu memiliki sikap hidup dan kepribadian merdeka, disiplin tinggi, hemat, menghargai waktu, ulet, wirausaha, kerja keras, dan memiliki cinta kebangsaan yang tinggi tanpa kehilangan orientasi nilai-nilai kemanusiaan universal dan hubungan antarperadaban bangsa-bangsa

Pembentukan karakter SDM menjadi vital dan tidak ada pilihan lagi untuk mewujudkan Indonesia baru, yaitu Indonesia yang dapat menghadapi tantangan regional dan global. Tantangan regional dan global yang dimaksud adalah bagaimana generasi muda kita tidak sekedar memiliki kemampuan kognitif saja, tapi aspek afektif dan moralitas juga tersentuh. Untuk itu, pendidikan karakter diperlukan untuk mencapai manusia yang memiliki integritas nilai-nilai moral sehingga anak menjadi hormat sesama, jujur dan peduli dengan lingkungan.
Lickona (1992) menjelaskan beberapa alasan perlunya Pendidikan karakter, di antaranya:

(1) Banyaknya generasi muda saling melukai karena lemahnya kesadaran pada nilai-nilai moral

 (2) Memberikan nilai-nilai moral pada generasi muda merupakan salah satu fungsi peradaban yang paling utama

(3) Peran sekolah sebagai pendidik karakter menjadi semakin penting ketika banyak anak-anak memperoleh sedikit pengajaran moral dari orangtua, masyarakat, atau lembaga keagamaan

(4) masih adanya nilai-nilai moral yang secara universal masih diterima seperti perhatian, kepercayaan, rasa hormat, dan tanggungjawab

(5) Demokrasi memiliki kebutuhan khusus untuk pendidikan moral karena demokrasi merupakan peraturan dari, untuk dan oleh masyarakat,

Pembentukan karakter SDM yang kuat sangat diperlukan untuk menghadapi tantangan global yang lebih berat. Karakter SDM dalam dibentuk melalui proses pendidikan formal, non formal, dan informal yang ketiganya harus bersinergis. Untuk menyinergiskan, peran pendidik dalam pendidikan karakter menjadi sangat vital sehingga anak didik atau SDM Indonesia menjadi manusia yang religius, moderat, cerdas, dan mandiri sesuai dengan cita-cita dan tujuan pendidikan nasional serta watak bangsa Indonesia.

Kesejahteraan suatu bangsa sangat erat kaitannya dengan masalah kependudukan. Indonesia pada saat ini memiliki jumlah penduduk yang besar. Konsekuensi penduduk yang besar seperti pengadaan sumber-sumber pangan kian meningkat, sehingga apabila masalah pangan tidak teratasi akan berakibat pada menurunnya kesejahteraan penduduk. Terdapat tiga hal yang berkaitan dengan masalah kesejahteraan, yakni sumber daya alam, peralatan teknologi dan sumber daya manusia. Hal terakhir inilah yang mempunyai peranan terpenting. Sumber daya alam yang ada tidak akan bermanfaat tanpa ada yang mengelolanya dan teknologi tidak dapat digunakan apabila tidak ada manusia yang mempergunakannya. Keterlibatan manusia seperti demikianlah, sehingga sumber daya manusia menjadi bagian yang terpenting.
Sumber daya manusia adalah semua potensi yang berhubungan dengan data kependudukan yang dimiliki oleh suatu daerah/negara yang dapat dipergunakan untuk memenuhi kebutuhan hidup manusia. Sumber daya manusia itu harus memadai, baik dilihat dari segi kuantitas maupun dari segi kualitas. Segi kuantitas berkaitan dengan jumlah, pertumbuhan dan susunan. Ketiga ini disebut faktor-faktor demografis. Sedangkan kualitas dilihat dari tingkat pendidikan, tingkat kesehatan, dan kemampuan sumber daya manusia ini disebut faktor-faktor sosial atau non-demografis.

Disinilah peran mahasiswa sangat dibutuhkan sebagai agen perubahan (agent of change). Sebagai pihak yang mengenyam bangku pendidikan di perguruan tinggi,mahasiswa adalah sebagian kecil dari penikmat pajak yang telah dibayarkan oleh sebagian besar masyarakat Indonesia. Sehingga mahasiswa harus berpihak kepada masyarakat yang telah ikut “membiayai” pendidikan mereka. Mahasiswa sebagai kaum yang terdidik,hendaknya mentransfer ilmunya kepada masyarakat agar masyarakat tidak buta ilmu pengetahuan ataupun buta politik sehingga masyarakat dapat semakin pintar dalam memilih. Ketika msayarakat tidak buta politik, maka bangku-bangku wakil rakyat akan diduduki oleh mereka yang benar-benar mempunyai kapabilitas dan kapasitas dalam bidangnya, sehingga aspirasi masyarakat dapat tersalurkan dengan tepat. Ketika masyarakat tidak buta ilmu pengetahuan, maka akan banyak sekali inovasi dalam berbagai bidang sehingga dapat membantu masyarakat dalam meningkatkan taraf hidup mereka. Selain itu, dengan berkembangnya ilmu pengetahuan dan teknologi maka bangsa ini akan mampu mengolah sumber daya alam yang dimilikinya secara mandiri, sehingga kesejahteraan rakyat akan lebih terjamin. Sebuah negara yang maju, pasti didukung oleh ilmu penngetahuan dan teknologi yang maju pula, dan IPTEK yang maju pasti berasal dari SDM yang unggul. Pendidikan yang diberikan oleh mahasiswa tidak hanya sebatas dalam ruang-ruang diskusi atau ruang seminar, namun mahasiswa harus terjun langsung ke dalam masyarakat sehingga dapat berinteraksi secara langsung kepada masyarakat dan dapat membantu masyarakat dalam menyelesaikan permasalahan-permasalahan yang mereka hadapi serta dapat berbagi ilmu,karena masih banyak ilmu-ilmu yang tidak dapat dipelajari di dalam perkuliahan dan hanya  dapat kita temukan di lingkungan masyarakat. Hal ini dapat dimulai dengan keikutsertaan mahasiswa dalam program KKN yang diselenggarakan oleh beberapa universitas di negeri ini.Karena salah satu tujuan dari program KKN adalah sebagai sarana pengabdian para mahasiswa kepada masyarakat luas.

Selain itu, banyaknya angkatan kerja yang melebihi lapangan pekerjaan yang ada, menjadi permasalahan tersendiri bagi bangsa ini. Mahasiswa telah diasah pola pikir dan kreatifitasnya dalam perkuliahan, hendaknya mampu menciptakan lapangan pekerjaan untuk menampung angkatan kerja yang jumlahnya semakin banyak. Sehingga masalah pengangguran di negara ini dapat teratasi. Dengan berkurangnya angka pengangguran, maka akan berkurang juga angka kriminalitas, dan akan menaikkan kesejahteraan masyarakat, sehingga satu-persatu permasalahan bangsa ini dapat teratasi.

Pembelajaran bagi masyarakat juga harus meliputi aspek kesehatan, karena dalam uraian di atas telah dijelaskan bahwa angka kematian ibu dan bayi sangat tinggi,hal ini menandakan bahwa tingkat kesadaran masyarakat akan pentingnya kesehatan masih kurang. Mahasiswa sebagai kalangan yang berilmu pengetahuan, dapat menyalurkan pengetahuannya kepada masyarakat akan pentingnya kesehatan bagi kehidupan dan diharapkan dapat menumbuhkan kesadaran masyarakat akan kesehatan sehingga masyarakat dapat senantiasa menjaga kesehatan diri, keluarga dan lingkungannya. Dengan sehatnya masyarakat, maka anak-anak usia sekolah dapat mencerna ilmu pengetahuan dengan optimal,sehingga terciptalah SDM yang unggul.

Setelah tercipta masyarakat yang pintar, maka perlahan segala permasalahan bangssa ini akan teratasi, sehingga geopolitik Indonesia yang tertuang dalam Wawasan Nusantara dan politik bebas aktif dapat tercapai. Serta geostrategi bangsa ini yang dirumuskan dalam wujud Ketahanan Nasional dapat terlaksana, karena dibutuhkan orang-orang yang pintar untuk menyusun strategi yang besar (grand strategy)

Sumber:

http://purnamaalam71.blogspot.com/2011/03/peran-pembelajaran-geografi-dalam.html

http://www.groundlevel.co.cc/index.php?option=com_content&view=article&id=79:geopolitik-dan-geostrategi-indonesia&catid=35:semester-1&Itemid=58

http://id.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090103055951AAyQ70T